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해석적 확장과 감마 함수

해석적 확장이란?

실수에서만 또는 특정 조건에서만 정의되는 함수를 복소수로 확장하거나, 그 특정 조건을 완화시키는 방법을 해석적 확장 또는 해석적 접속이라고 한다. 영어로는 Analytic Continuation.

등비 급수 사례

다음 등비 급수의 예를 보면 쉽게 이해가 될 것 같다.

\begin{align}f_1(z) = \sum_{k=0}^{\infty} {z^k} = 1 + z + z^2 + z^3 + \cdots\end{align}

위 함수는 \(z\) 의 절대값이 1보다 작은 실수일 때 수렴한다.

\begin{align}\left | z \right | < 1\end{align}

따라서 위와 같은 조건에서 정의되며 등비급수의 공식을 활용하면 간단히 나타낼 수 있다.

\begin{align}f_2(z) = \frac{1}{1-z}\end{align}

그런데 이 두번째 함수는

• \(z = 1\) 이 아닌 정의역에서 모두 값을 가지고,
• 특별히 z의 절대값이 1보다 작을 때는 첫번째 함수와 똑같아 진다.

이 두번째 함수 \(f_2(z)\) 를 첫번째 함수 \(f_1(z)\) 의 해석적 확장이라고 한다. 해석적 확장을 하는 방법은 다양하게 많을 수 있고, 첫번째 함수를 복소수 영역까지 확장하는 방법이 또 있다.

\begin{align}f_3(z) = \int_{0}^{\infty} {e^{-t(z-1)}dt}\end{align}

위 식의 우변의 적분을 정리하면 아래와 같이 되고,

\begin{align}f_3(z) = \left [ \frac{1}{1-z}e^{-t(z-1)} \right ]_{t=0}^{t=\infty}\end{align}

\(z = a + bi\) 라고 하면 아래와 같이 생각하여 \(a < 1\) 인 조건에서 수렴함을 증명할 수 있다.

\begin{align}e^{-t(z-1)} = e^{-t(a-1)} e^{-itb}\end{align}

위식의 허수 부분의 절대값은 아래와 같이 1 이다.

\begin{align}\left | e^{-itb} \right | = \left | \cos(tb) - i\sin(tb) \right | = 1\end{align}

그러므로 식(6)의 절대값은 아래와 같다.

\begin{align}\left | e^{-t(z-1)} \right | = \left | e^{-t(a-1)} \right |\end{align}

따라서 복소수 \(z\) 의 실수부인 \(Re(z) = a < 1\) 일 때 정의되는 함수로 확장 되었고, 그 값은 두번째 함수(식(3))와 동일하다.

해석적 확장의 관점에서 보면 정의역의 크기는 아래와 같이 확장되었다.

\begin{align}f_1(z) \rightarrow f_3(z) \rightarrow f_2(z)\end{align}

왜 이런 일을 하냐에 대해서 내 생각은 이렇다. 해석적 확장을 한 함수가 다루기 쉽다면, 이것을 활용하고 계산을 수행하고, 나중에 그 정의역만 줄여서 결과를 해석하면 되기 때문이다.

감마 함수(Gamma Function)

해석적 확장의 예를 가장 잘 보여 주는 사례가 감마함수이다. 팩토리얼인 \(N!\) 은 아래와 같이 정의되며, \(N\) 은 자연수이다.

\begin{align}N! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times N\end{align}

이 계승은 확률을 다룰 때 많이 쓰고 통계역학을 배울 때 꼭 나오기 때문에, 이를 근사하는 방법까지 꼭 알고 있어야 한다. 이를 스털링 근사라고 한다.

자연수가 아닌 영역까지 이 함수를 확장하고 싶다면 어떻게 해야 할까? 아래와 같은 함수를 정의하자 (감마함수라 불림).

\begin{align}\red{\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} {e^{-t} t^{z-1}}dt}\end{align}

\(z = 1\) 일 때는 지수함수의 적분으로 값이 1이 됨을 쉽게 알 수 있다.

감마함수의 성질

아래와 같은 미분을 생각할 수 있으므로,

\begin{align}(e^{-t} t^{z})' = {-e^{-t} t^{z}} + {e^{-t} z t^{z-1}}\end{align}

이 식을 정리하여 식(11)의 적분 안의 값으로 정리하면,

\begin{align}{e^{-t} t^{z-1}} = \frac{(e^{-t} t^{z})' + {e^{-t} t^{z}}} {z}\end{align}

감마함수 식(11)에 \(z\) 를 곱하여 아래와 같이 전개할 수 있다(부분 적분).

\begin{align}\begin{split}z \Gamma(z) &= z \int_{0}^{\infty} {e^{-t} t^{z-1}}dt\\&= \left | e^{-t} t^{z} \right | _{t=0} ^{t=\infty} + \int_{0}^{\infty} {e^{-t} t^{z}}dt \\&= \Gamma(z+1)\end{split}\end{align}

\(z = 1\) 일 때 1이고, 위의 성질을 가지고 있으므로, \(z\) 가 자연수 일 때 감마함수는 \(N!\) (\(N\) 의 계승, Factorial)과 동일함을 알 수 있다. 추가적인 감마함수의 성질에 대해서는 위키피디아를 참고하기 바란다.

감마함수의 정의역

감마함수의 정의역이 어떻게 되는지 알아보기 위해 위 식에 \(z = a + bi\) 를 넣고 살펴보자.

\begin{align}\begin{split}\left | e^{-t} t^{z} \right | _{0} ^{\infty} &= \left | e^{-t} t^{a + bi} \right | _{0} ^{\infty} \\&= \left | e^{-t+ a \ln t} e^{ib \ln t} \right | _{t=0} ^{t=\infty}\end{split}\end{align}

위의 식에서 \(Re(z) = a > 0\) 이면 수렴하고, \(a = 0\) 일 때는 아래의 값이 수렴하지 않기 때문에 감마 함수 값이 정의되지 않는다.

\begin{align}\left | e^{-t} e^{ib \ln t} \right | _{t=0} ^{t=\infty} = e^{ib \ln t} |_{t=0} = ?\end{align}

즉 계승 함수가 자연수의 정의역에서 감마함수를 통해 \(Re(z) > 0\) 인 복소수로 확장되었다.

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